10.1. Куб (аналітична геометрія)

1. Координати образу на розгортці точки поверхні лінійним чином залежать від координат точки.

2. Відстань між точками на поверхні многогранника — це довжина найкоротшого відрізка, що сполучає образи точок на всіх можливих розгортках.

3. Кількість розгорток і відповідних формул переходу від координат точок до координат образів на розгортці можна (й потрібно) зменшити, використовуючи симетрії куба, які бічні грані відображають одна в одну, а нижню й верхню (з найменшою і найбільшою аплікатами) залишають на місці.

10.2. Числа (рекурентні співвідношення, довга арифметика + комбінаторні рівності)

1. Позначимо через c(n, m) кількість n-цифрових чисел, сума цифр кожного з яких дорівнює m. Безпосередньою перевіркою можна пересвідчитися в істинності таких систем рівностей:

   c(1, 1) = c(1, 2) = c(1, 3) = c(1, 4) = c(1, 5) = c(1, 6) = c(1, 7) = c(1, 8) = c(1, 9) = 1;
   
   c(1, 10) = c(1, 11) = c(1, 12) = … = 0;

   Рекурентне співвідношення:

   c(n, m) = c(n – 1,m) + c(n – 1, m–1) + c(n – 1, m – 2) + ... + c(n – 1, max (1, m – 9))

   випливає з таких міркувань. Будь-яке n-цифрове число можна отримати шляхом дописування до (n – 1)-цифрового числа праворуч (у розряд одиниць) однієї з цифр. При цьому сума цифр числа зростає на величину дописуваної цифри. Таким чином, у рекурентному співвідношенні перший доданок ліворуч від знака рівності відповідає дописуванню 0, другий — дописуванню 1, третій — дописуванню 2 і т.і.

2. При знаходженні елементів матриці c в оперативній пам'яті достатньо зберігати дані лише про рядок, що визначають, і попередній.

3. Для ефективного використання оперативної пам'яті елементи матриці c потрібно подати одним масивом цифр у системі числення з основою 100.

4. Якщо m > 9n, то c(n, m) = 0.

5. Якщо m ≤ 9n, то c(n, m) = c(n, 9n + 1 – m). Доведення таке: поставте кожному n-цифровому числу x із сумою цифр m у взаємно однозначну відповідність таке n-цифрове число 1099…99 – x (у зменшуваному записано n – 1 дев'ятка). Сума цифр такої різниці дорівнює 9n + 1 – m — див. запис дії віднімання у стовпчик.