1. Потік

Розглянемо автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

(1)     dx_j/dt = f_j( x₁ , x₂ , …, x_n)

при дійсних x_j , функціях f_j : Rⁿ → R ,   j = 1, 2, …, n.

Словом «автономність» позначають незалежність у явному вигляді правої частини рівнянь (1) від аргумента t. Систему рівнянь (4) ще записують у такому вигляді:

(2)     x' = f (x) ,

де x – вектор-стовпчик з координатами x₁, x₂, …, x_n,
f (x) – вектор-стовпчик з такими координатами:
f₁(x₁, x₂, …, x_n), f₂( x₁, x₂, …, x_n), …, f_n( x₁, x₂, …, x_n).

Природно розглядати такі праві частини рівняння (2), при яких роз’язок рівняння існує та єдиний хоча б в околі вибраних початкових значень x. Таким умовам задовольняють, наприклад, неперервно диференційовні за координатами x функції f — див. традиційні підручники з теорії диференціальних рівнянь для студентів вищих навчальних закладів (В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М: Наука, 1971, 240 с. та інші) або адаптований логічно послідовний виклад теоретичних основ шкільного курсу у посібнику: О.Б.Рудик. Початки алгебри, аналізу, аналітичної геометрії і теорії ймовірностей. Тернопіль: «Навчальна книга–Богдан», 2005, 415 с.

Означення 1. Запровадимо такі поняття для рівняння (2).

1. Потоком, породженим полем напрямків f називають множину { f ^t} відображень

   f ^t : Rⁿ → Rⁿ,

   що початковій величині x ставлять у відповідність розв’язок рівняння (2) за час t:

   ( f ^tx)' = f ( f ^tx)   при   f ⁰x = x.

2. Означимо дію потоку { f ^t} на С(Rⁿ) — просторі неперервних на Rⁿ функцій — таким чином:

   ( f ^t u)(x) = u ( f ^t x).

3. Означимо дію потоку { f ^t} на просторі обмежених мір µ, заданих на Rⁿ, таким чином, щоб при довільній неперервній обмеженій функції u ∈ С(Rⁿ) справджувалися такі рівності:

   ∫ u (x) d( f ^tµ)(x) = ∫ ( f ^tu )(x) dµ(x) = ∫ u ( f ^tx) dµ(x).

Зауваження 1. Якщо рівняння (2) моделює певний природний чи суспільний процес, то з конкретно-наукових міркувань бажано, щоб траекторії-розв’язки для додатного часу t не прямували до нескінченості, а належали до певної замкненої обмеженої множини.

Означення 2. Потоки { f ^t} і {g^t} називають еквівалентними (спряженими, подібними), якщо існує взаємно однозначне відображення

що відображає потік { f ^t} у потік {g^t} при заміні координат h. Інакше кажучи,

при довільних t ∈ R, x ∈ Rⁿ. При цьому потоки називають:

• лінійно еквівалентними, якщо відображення h є лінійним оператором;

• аналітично еквівалентними, якщо відображення h є аналітичним, тобто h можна подати степеневим рядом приростів координат x;

• диференціально еквівалентними, якщо відображення h є дифероморфізмом, тобто диференційовнм відображенням;

• топологічно еквівалентним, якщо відображення h є взаємно неперервним.

Зауваження 2. З лінійної еквівалентності потоків випливає їхня аналітична еквівалентність, з аналітичної — диференціальна, з диференціальної — топологічна.

2. Стійкість розв'язку

Надалі через |…| в R позначимо модуль (абсолютну величину), в Rⁿ — довільну норму (довжину вектора). Наприклад,

при p ≥ 1. При p = 2 це збігається зі звичайною евклідовою нормою.

Означення 3. Розв’язок f ^tx рівняння (2) називають:

• стійким за Ляпуновим, якщо вибором достатньо малого околу x початкових значень y можна зробити як завгодно малим відхилення | f ^ty – f ^tx| рівномірно для всіх невід’ємних t:

  ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ Rⁿ : |y – x| < δ ⇒ ∀t ≥ 0 | f ^ty – f ^tx| < ε ;

• асимптотично стійким, якщо:

  • він є стійким за Ляпуновим;

  • існує окіл x початкових значень y, при яких відстань між розв’язками з початковими значеннями y та x збігається до нуля:

    ∃Δ > 0 ∀y ∈ Rⁿ : |y – x| < Δ ⇒ | f ^ty – f ^tx| → 0 при t → + ∞ ;

• асимптотично стійким у цілому, якщо:

  • він є стійким за Ляпуновим;

  • для довільного початкового значення y відстань між розв’язками з початковими значеннями y та x збігається до нуля:

    ∀y ∈ Rⁿ : | f ^ty – f ^tx| → 0 при t → + ∞ ;

• експотенціально стійким, якщо

  ∃ (Δ > 0, M > 0, γ > 0) ∀y ∈ Rⁿ : |y – x| < Δ ⇒ ∀t ≥ 0 | f ^ty – f ^tx| ≤ Me ^{– γ t} ;

• експотенціально стійким у цілому, якщо

  ∃ (M > 0, γ > 0) ∀y ∈ Rⁿ ∀t ≥ 0 | f ^ty – f ^tx| ≤ Me ^{– γ t} .

Зауваження 3. З експотенціальної стійкості випливає асимптотична стійкість, з якої, у свою чергу, випливає стійкість. Зворотні імплікації не справджуються.

Зауваження 4. Поняття стійкості можна узагальнити на випадок неавтономних систем, формально вказавши залежність від змінної t та вибраного початкового значення t₀ цієї змінної.

Зауваження 5. Нехай квадратна матриця A за домомогою матриці С зводиться до нормальної форми Жордана B:

A = СBС ^–1.

Тоді розв’язок рівняння (2) при f (x) = Ax має таке подання:

e^Atx = Сe^BtС ^–1x.

1. Якщо дійсні частини усіх власних чисел A від’ємні, то розв’язок x = 0 є експотенціально стійким.

2. Якщо дійсні частини усіх власних чисел A недодатні, а деякі з них (дійсних частин) дорівнють нулю при розмірності 1 відповідних підпросторів Rⁿ, то розв’язок x = 0 є стійким, але не є асимптотично стійким.

3. Якщо дійсні частини усіх власних чисел A недодатні, а деякі з них (дійсних частин) дорівнють нулю при розмірності відповідних підпросторів Rⁿ більшій за 1, то розв’язок x = 0 не є асимптотично стійким.

4. Якщо дійсна частина хоча б одного з власних чисел A додатна, то розв’язок x = 0 не є стійким.

Означення 4. Точку x простору Rⁿ називають стаціонарною (нерухомою) точкою потоку { f ^t}, якщо f ^tx = x при довільних дійсному t та x з Rⁿ. Розглянемо власні числа матриці ∂ f / ∂ x = ||∂ f_j /∂ x_k|| у стаціонарній точці x за умови, що відповідні похідні існують:

• якщо всі власні числа ∂ f / ∂ x дійсні й розташовані по один бік від нуля на числовій прямій, то стаціонарну точку називають вузлом;

• якщо всі власні числа ∂ f / ∂ x дійсні, але розташовані по різні боки від нуля на числовій осі, то стаціонарну точку називають сідлом;

• якщо серед власних чисел ∂ f / ∂ x є такі, що мають відмінні від нуля уявні частини, то стаціонарну точку називають фокусом.

Зауваження 6. Необхідною і достатною умовою нерухомості точки x відносно потоку { f ^t} є справдження рівності: f (x) = 0.

Нерухому точку математичної моделі еволюції складної системи традиційно пов’язують зі станом рівноваги (стійкої чи нестійкої).

Зауваження 7. Анрі Пуанкаре у своїй дисертаційній роботі довів, що при:

• аналітичній залежністі поля напрямків f(x) від координат x;

• відсутності резонансу власних чисел матриці ∂ f (x)/∂ x при нерухомій точці x потоку { f ^t}, тобто при справдженні усіх нерівностей такого вигляду λ_j ≠ (λ | m), де:
  λ₁, λ₂, …, λ_n — власні числа матриці ∂ f (x)/∂ x — координати вектора λ;
  m₁, m₂, …, m_n — невід’ємні цілі числа, сума яких не менша, ніж 2, — координати вектора m;
  (λ |m) = λ₁m₁ + λ₂m₂ + ... + λ_nm_n — скалярний добуток векторів λ і m

формальною заміною змінних рівняння (2) в околі нерухомої точки x зводиться до лінеаризованої задачі:

(3)     y' = (∂ f (x)/∂ x) y

в околі початку координат (про доведення див. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.).

При локальній еквівалентності рівнянь (2) і (3):

• якщо дійсні частини всіх власних чисел матриці ∂ f (x)/∂ x від’ємні, то стаціонарна точка x є стійкою;

• якщо дійсна частина хоча б одного власного числа матриці ∂ f (x)/∂ x додатна, то стаціонарна точка x є не стійкою;

В усіх інших випадках для встановлення стійкості потрібно досліджувати вищі похідні поля напрямків f.

3. Дотичне відображення

Означення 5. Позначимо через x(t) вектор-стовпчик з координатами x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t), що є розв’язком рівняння (2).

1. Дотичним відображенням потоку { f ^t} на відрізку [t₀; t₁], називають лінійний оператор, що подають такою матрицею часткових похідних:

   ∂ x(t1) / ∂ x(t0) = ||∂ xj(t1) / ∂ xk(t0)||.

   
   

2. Характеристичним показником Ляпунова χ напряму вектора v при дотичному відображенні ∂ x(t) / ∂ x(0) потоку { f ^t} називають таку верхню часткову границю:

   χ(v, x(0)) =	sup lim	ln | (∂ x(t) / ∂ x(0)) v| : t
   	t → + ∞

Зауваження 8. Згідно з правилом диференціювання складеної функції маємо:

∂ x(t + dt) /∂ x(t₀) = ∂ x(t + dt) /∂ x(t) · ∂ x(t) /∂ x(t₀).

Тут знаком · позначено операцію множення матриць. Враховуючи співвідношення:

x(t + dt) = x(t) + f (x(t)) dt + o(dt),

отримаємо таке рівняння для матриці дотичного відображення:

(d/dt) ∂ x(t) /∂ x(t₀) = ∂ f (x(t)) /∂ x · ∂ x(t) /∂ x(t₀).

Згідно з правилом диференціювання складеної функції маємо:

(d/dt) f (x(t)) = ∂ f (x(t)) /∂ x · f (x(t)).

Таким чином, напрям потоку зберігається при дотичному відображенні.

Ґрунтовна стаття: Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характерис­тические показатели Ляпунова // Труды Московского матем. общ-ва, 1968, том 19, c. 197–231 — містить конструктивне доведення так званої мультиплікативної ергодичної теореми. Воно містить алгоритм обчислення усіх, а не лише найбільшого, характеристичних показників Ляпунова. Цей алгоритм має такий вигляд.

1. Вибираємо точку x(0) ергодичної компоненти динамічної системи. В ході чисельного експерименту це здійснюють, обчислюючи розв’язок рівняння (5) на досить великому інтервалі для довільного початкового значення. Таким чином можна знайти точку лише в околі аттрактора.

2. Вибираємо X(0) — довільну невироджену матрицю. Наприклад, X(0) = diag(1, 1, …, 1) — матриця, діагональні елементи якої дорівнюють 1, а решта — 0.

3. Вибираємо T — довільне додатне дійсне число.

4. Для натурального k = 1, 2, ... робимо такe.

   • Розглянемо розширення у дотичне розшарування рівняння (5) на проміжку [(k – 1)T; kT ). Інакше кажучи, на цьому проміжку розв’яжемо таку систему рівнянь:

     x'(t) = f (x);

     X'(t) = ∂ f (x(t)) /∂ x · X(t)

     і знайдемо X(kT – 0) = ∂ x(kT ) /∂ x((k – 1)T ) · X((k – 1)T ).

   • Знаходимо матрицю С ∈ SO(n, R), при якій матриця D = С ^– 1 · X(kT – 0) має верхньо-трикутний вигляд. Для матриць з дійсними елементами умова С ∈ SO(n, R) означає справдження таких рівностей:

     CC ^t = C ^tC = diag(1, 1, …, 1).

     Інакше кажучи, рядки (стовпчики) матриці С утворюють ортонормовану базу Rⁿ: скалярний добуток кожного такого вектора з собою дорівнює 1, а з іншим таким вектором — 0.
     
     Опишемо детально процедуру визначення матриці С, скориставшись такими позначеннями:
     с_j — вектор Rⁿ, що є рядком j матриці С;
     x_j — вектор Rⁿ, що є рядком j матриці X(kT – 0);
     d_jl — елемент матриці D, розташований у рядку j та стовчику l, d_jl = 0 при j > l;
     (u|v) — скалярний добуток (сума добутків відповідних координат) векторів u і v.
     
     Співвідношення C·D = X(kT – 0) запишимо за допомогою запроваджених позначень. При l = 1, 2, …, n:
     

     l
     ∑	djl cj = xl .
     j = 1

     При l = 1 маємо:

     • d₁₁ = (x₁ | x₁)^1/2 — при обчисленні наближень характеристичних показників Ляпунова на цю величину є посилання як на d₁₁(kT );

     • с₁ = (d₁₁)^{– 1}x₁.

     При l = 2, 3, …, n маємо:

     • d_ml = (c_m | x_l) при m = 1, 2, …, l – 1, бо коефіцієнти розкладу вектора за ортонор­мованою базою збігаються зі скалярними добутками вектора і векторів бази;

     • u_l = x_l – d_1l c₁ – d_2l c₂ – ... – d_{(l – 1) l} c_l – 1 — складова x_l, перпендикулярна до c₁, c₂, c_l – 1;

     • d_ll = (u_l | u_l)^1/2 — при обчисленні наближень характеристичних показників Ляпунова на цю величину є посилання як на d_ll(kT );

     • с_l = (d_ll)^{– 1}u_l.

   • Обчислимо наближення характеристичних показників Ляпунова

     	k		k
     χl(kT ) = (kT ) – 1	∑	ln dl( jT ) = (kT ) – 1 ln (	П	dll( jT )).
     	j = 1		j = 1

   • Покладемо X(kT) = С.

Пункт 4 виконуємо до тих пір, поки певна кількість цифр після десяткової коми у десяткових записах наближень характеристичних показників Ляпунова не стануть сталими. При виконанні пункту 4 ми послідовно обчислюємо фрагменти — добутки по три множники, рахуючи справа наліво, — такого виразу:

Зауваження 9. Нехай потік { f ^t} з неперервно диференційовним f має інваріантну замкнену обмежену множину.

1. Для траекторій всередині цієї множини:

   • або траекторія наближається до нерухомої точки і характеристичний показник Ляпунова напряму потоку збігається з дійсною частиною відповідного власного значення матриці ∂ f /∂ x, обчисленій у цій нерухомій точці;

   • або величина | f | відділена від нуля та нескінченності і характеристичний показник Ляпунова напряму потоку дорівнює нулю.

2. Якщо на ергодичній компоненті фазового простору характеристичні показники Ляпунова усіх векторів v для дотичного відображення ∂ x(t) / ∂ x(0) потоку { f ^t} від’ємні, можливо, за виключенням поля напрямів та сум його з векторами, чиї показники від’ємні, то розв’язок x(t) рівняння (5) є експотенціально стійким.

3. Якщо на ергодичній компоненті фазового простору існує вектор, чий характеристичний показник Ляпунова для дотичного відображення ∂ x(t) / ∂ x(0) потоку { f ^t} додатний, то розв’язок x(t) рівняння (5) не є стійким.

При чисельному інтегруванні, наприклад, за допомогою модифікації Мерсона методу Рунге-Кутти, при наявності потоків з додатними характеристичними показниками спочатку різницева схема спотворює напрям потоку, і лише потім відбувається збіг наближень показників Ляпунова. Це було зауважено (Rudyk A.B. The Lyapunov Characteristic Exponents of Dissipative Systems with a Strange Attractor. К.: 1983. — 17 с. Препpинт / АН Украины, Ин-т теор. физики; 83–156E.) при обчисленні характеристичних показників Ляпунова системи трьох звичайних диференціальних рівнянь, побудованої як приклад до такого твердження: потоки, чиї поля напрямків є зваженою сумою полів потоків з різними стійкими циклами, можуть демонструвати складну поведінку: каскад біфуркацій подвоєння періоду стійкого циклу, наявність аттрактора з дробовою розмірністю тощо залежно від коефіцієнтів зваженої суми.