Означення 1. Запровадимо такі поняття й позначення:

1. Множини A i B рівнопотужні, якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між їх елементами, тобто існує взаємнооднозначне відображення з однієї множини в іншу (бiєкція). Це записують таким чином:

   | A | = | B |.

2. Те, що множини A i B не є рівнопотужними (ще кажуть: потужності множин A і B відрізняються), записують так:

   | A | ≠ | B |.

3. Множина A — зліченна, якщо вона рівнопотужна підмножині ряду натуральних чисел.

4. Якщо множина не є зліченною, то будемо називати її незліченною.

5. Множина A є скінченною і має n елементів, де n — натуральне число, якщо вона рівнопотужна {1, 2, 3, …, n} — множині натуральних чисел у межах від 1 до n включно. Це записують так:

   | A | = n.

6. Якщо множина не є скінченною, то будемо називати її нескінченною.

7. Потужність множини A не перевищує потужності множини B, якщо множина A рівнопотужна підмножині множини B. Це записують так:

   | A | ≤ | B |.

8. Потужність множини A менша від потужності множини B, якщо потужність множини A не перевищує потужності множини B (| A | ≤ | B |), але множина A нерівнопотужна множині B (| A | ≠ | B |). Це записують таким чином:

   | A | < | B | .

9. Кардинальним числом (кардиналом) називають об’єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число множини A позначають як | A | або Card A:

   • для скінченної множини A кардинальним числом | A | є натуральне число, яким позначають кількість елементів цієї множини;

   • для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Кардинальні числа множин можна порівнювати. Справді, для довільних множин A і B логічно справджується хочаб одне з таких чотирьох висловлювань:

1. | A | = | B |;
2. | A | ≤ | B |;
3. | B | ≤ | A |;

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A.

Випадок 4 означає непорівнюваність потужностей множин A і B між собою. Дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору, можна довести неможливість цього випадку.

Згідно з теоремою Кантора-Бернштейна одночасне справдження висловлювань 2 і 3 призводить до рівності: | A | = | B |.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Інакше кажучи, для кардинальних чисел | A | і | B | довільних множин A і B справд­жується одне й лише одне з таких трьох співвідношень:

Кардинальне число множини всіх натуральних чисел позначають таким чином:

Кардинальне число континуальних множин, рівнопотужних множині всіх підмножин натурального ряду і множині дійсних чисел, позначають таким чином:

Теорема 2 (Кантор). Потужність множини 2^A підмножин будь-якої непорожньої множини A більша, ніж потужність даної множини A:

Доведення. Існує тривіальна взаємно однозначна відповідність між множиною A і підмножиною множини 2^A, що ставить у відповідність елементу множини A одноелементну множину, що містить саме цей елемент. Тому достатньо довести, що множини A і 2^A нерівнопотужні. Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно однозначна відповідність g між множинами A і 2^A. Для кожної пари < b, B > з відношення g справджується одне й лише одне з двох висловлювань: або b ∈ B, або b ∉ B. Побудуємо нову множину:

де g*b — образ b при відображенні g. Порожня множина ∅ належить до 2^A, а відповідний їй (при бієкції g) елемент множини A належить до множини S, яка, таким чином, непорожня. S побудовано як підмножину A, тому при взаємно однозначній відповідності g вона (множина S) відповідає деякому елементові s ∈ A, тобто існує пара < s, S > ∈ g. Маємо:

• з умов s ∈ S і < s, S > ∈ g та правила побудови множини S випливає, що s ∉ S;

• з умов s ∉ S і < s, S > ∈ g та правила побудови множини S випливає, що s ∈ S.

Отримана суперечність свідчить про хибність припущення щодо можливості встановлення взаємно однозначної відповідності між A і 2^A. Отже, | A | < | 2^A |.

Наслідок 1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність. Інакше кажучи, не існує найбільшого кардинального числа.

1877 року Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звану континуум-гіпотезу, яку можна сформулювати таким чином.

Континуум-гіпотеза: Будь-яка нескінченна підмножина континууму (множини, рівно­потужної множині дійсних чисел) є або зліченною, або континуальною.

Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі 1900 року. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.

• У 1940 році Курт Гедель довів у припущенні несуперечності системи аксіом Цермело-Френкеля (ZF), що виходячи з аксіом теорії множин разом з аксіомою вибору, континуум-гіпотезу не можна спростувати;

• У 1963 році американський математик Пол Коен довів (також у припущенні несуперечності ZF), що континуум-гіпотезу не можна довести, виходячи з тих же аксіом. Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZF.

Поділ щодо підтвердження чи заперечення континуум-гипотези привів до створення двох теорій множин:

• так званої канторівської теорії множин, у якій справджується контитуум-гіпотеза.

• неканторівської теорії множин, у якій континуум-гіпотезу вважають хибною. В цьому випадку можна довести, що кардинальними числами натурального ряду й конти­нууму розташовано нескінчено багато кардинальних чисел.

Узагальнена континуум-гіпотеза стверджує, що для будь-якої нескінченної множини S не існує таких множин, кардинальне число яких більше, ніж у S, але менше, ніж у множини всіх підмножин S. Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як довели Серпінський (1947) і Шпеккер (1952), з неї випливає аксіома вибору.